מכפלת האיברים האמצעיים בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳סדרות 571 · שיעור 45

קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב , ג

שיעור 45: מכפלת האיברים האמצעיים בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳

פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה

3סעיף ב – מציאת q

4סעיף ג (1) – עולה או יורדת

5סעיף ג (2) – מציאת k

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא a_n ומנתה היא q.

א. הוכיחו כי a₁ · a_2n = a_n · a_{n + 1} מתקיים בעבור כל n טבעי.

בעבור 2k האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים האמצעיים בסדרה שווה ל־10935a₁.

נתון: a_{2k − 2} = 1215.

ב. מצאו את q (שתי אפשרויות).

📄 נוסח השאלה · המשך

נתון: a₁ = 5.

ג. (1) קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את קביעתכם.

(2) מצאו את k.

סעיף א – הוכחה

a_2n = a₁q^{2n − 1}

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a₁ · a_2n = a₁²q^{2n − 1}

a_n · a_{n + 1} = a₁q^{n − 1} · a₁qⁿ

= a₁²q^{2n − 1}

שני הביטויים שווים.

✅ פתרון סופי: הוכחה

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף ב – מציאת q

שני האיברים האמצעיים מבין 2k האיברים הראשונים הם a_k ו־a_{k + 1}. לפי סעיף א (עם n = k):

a_k · a_{k + 1} = a₁ · a_2k

a₁ · a_2k = 10935a₁

a₁ ≠ 0, ולכן:

a_2k = 10935

a_2ka_{2k − 2} = q²

📐 מנה בין איברים בסדרה הנדסית

a_ma_n = q^{m − n}

סעיף ב – מציאת q · המשך

a_2ka_{2k − 2} = q²

📐 מנה בין איברים בסדרה הנדסית

q² = 109351215 = 9

q = 3

או

q = −3

✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3

📐 מנה בין איברים בסדרה הנדסית

a_ma_n = q^{m − n}

סעיף ג (1) – עולה או יורדת

a_2k = 5q^{2k − 1} = 10935

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

q^{2k − 1} = 2187

החזקה 2k − 1 אי־זוגית. חזקה אי־זוגית של מספר שלילי שלילית, אבל 2187 חיובי, ולכן:

q = 3

a₁ = 5 > 0 ו־q = 3 > 1, ולכן כל איבר גדול מקודמו: הסדרה עולה.

✅ פתרון סופי: הסדרה עולה

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סעיף ג (2) – מציאת k

3^{2k − 1} = 2187 = 3⁷

2k − 1 = 7

k = 4

✅ פתרון סופי: k = 4

📌 סיכום התשובות

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

q = ±3

סעיף ג (1)

עולה

סעיף ג (2)

k = 4

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא